在高中数学中，平面向量是一个重要的章节，它不仅是高考中的常考点，也是后续学习立体几何、解析几何等知识的基础。掌握好平面向量的相关公式和性质，对于提高解题能力至关重要。以下是高一数学平面向量的所有重要公式整理。
1. 向量的基本概念
- 向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量。
- 零向量：长度为0的向量，记作$\vec{0}$。
- 单位向量：长度为1的向量，记作$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。
2. 向量的加法与减法
- 三角形法则：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$，其中$\vec{c}$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的和。
- 平行四边形法则：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$，其中$\vec{c}$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的和。
- 向量的减法：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。
3. 向量的数量积（点积）
- 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角。
- 坐标表示：若$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。
- 性质：
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- $(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})$
- $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
4. 向量的模
- 定义：向量的长度，记作$|\vec{a}|$。
- 公式：$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中$\vec{a} = (x, y)$。
5. 向量的方向角与方向余弦
- 方向角：向量与正方向的夹角$\alpha$，满足$\tan\alpha = \frac{y}{x}$。
- 方向余弦：$\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}$，$\sin\alpha = \frac{y}{|\vec{a}|}$。
6. 向量的投影
- 定义：向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影为$|\vec{a}|\cos\theta$。
- 公式：投影长度为$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。
7. 向量的垂直与平行
- 垂直条件：$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
- 平行条件：$\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}$，其中$k$为常数。
8. 向量的夹角公式
- 公式：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。
以上就是高一数学平面向量的所有重要公式。希望这些公式能帮助同学们更好地理解和掌握平面向量的知识点，在考试中取得更好的成绩！
