【除法导数公式是什么】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。当涉及到两个函数的商（即除法）时，就需要使用“除法导数公式”来求解其导数。这个公式是求导法则中的重要组成部分，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。
一、除法导数公式总结
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则该函数的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式也被称为商法则（Quotient Rule），用于计算两个可导函数相除后的导数。
二、公式详解
- 分子部分：$ u'(x)v(x) - u(x)v'(x) $
这部分表示对分子和分母分别求导后，按照“先乘后减”的顺序进行运算。
- 分母部分：$ [v(x)]^2 $
分母是原分母的平方，确保结果不会为零（前提是 $ v(x) \neq 0 $）。
三、常见例子
| 函数 | 导数 | 使用公式 |
| $ \frac{x^2}{\sin x} $ | $ \frac{2x \sin x - x^2 \cos x}{\sin^2 x} $ | 商法则 |
| $ \frac{e^x}{x} $ | $ \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x (x - 1)}{x^2} $ | 商法则 |
| $ \frac{\ln x}{x^3} $ | $ \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - \ln x \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6} $ | 商法则 |
四、注意事项
- 在使用商法则前，必须确认分母不为零；
- 如果分母是常数，可以直接将导数看作分子的导数除以该常数；
- 对于复杂的函数，可以结合链式法则、乘法法则等一起使用。
五、表格总结
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 商法则（除法导数公式） |
| 公式表达 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 适用条件 | $ u(x) $、$ v(x) $ 可导，且 $ v(x) \neq 0 $ |
| 应用场景 | 求两个函数相除后的导数 |
| 常见错误 | 忽略分母的平方或符号错误（如减号方向） |
通过掌握除法导数公式，我们可以更高效地处理涉及分数形式的函数求导问题，提升解题效率与准确性。
