【求导法则公式】在微积分的学习中，求导法则是理解函数变化率的重要工具。掌握常见的求导法则，不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更深入地理解数学的逻辑结构。以下是对常见求导法则的总结，结合具体公式与示例，便于理解和记忆。
一、基本求导法则
1. 常数法则
如果 $ f(x) = c $（$ c $ 为常数），则：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数法则
若 $ f(x) = x^n $，其中 $ n $ 为任意实数，则：
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x) \pm v'(x)
$$
4. 乘积法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
5. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
6. 链式法则
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则：
$$
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
二、常见函数的导数公式
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = c $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
三、综合应用举例
例1： 求 $ f(x) = (x^2 + 3)(x - 1) $ 的导数
使用乘积法则：
$$
f'(x) = (2x)(x - 1) + (x^2 + 3)(1) = 2x(x - 1) + x^2 + 3 = 2x^2 - 2x + x^2 + 3 = 3x^2 - 2x + 3
$$
例2： 求 $ f(x) = \frac{\sin x}{x} $ 的导数
使用商法则：
$$
f'(x) = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}
$$
四、小结
求导法则是微积分中的核心内容，掌握这些规则不仅有助于解决实际问题，还能提升数学思维能力。通过不断练习和应用，可以更加熟练地运用这些法则进行复杂函数的求导操作。建议在学习过程中多做题、多总结，逐步形成自己的知识体系。
表格汇总：
| 法则名称 | 公式表达 | 说明 |
| 常数法则 | $ f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| 幂函数法则 | $ f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数公式 |
| 和差法则 | $ f(x) = u \pm v \Rightarrow f' = u' \pm v' $ | 对加减项分别求导 |
| 乘积法则 | $ f(x) = uv \Rightarrow f' = u'v + uv' $ | 两函数乘积的导数 |
| 商法则 | $ f(x) = \frac{u}{v} \Rightarrow f' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 分式的导数 |
| 链式法则 | $ f(x) = g(h(x)) \Rightarrow f' = g'(h(x)) \cdot h'(x) $ | 复合函数的导数 |
通过以上内容的整理与归纳，希望能帮助读者更好地理解和掌握求导法则，提升数学学习的效率与深度。
