【求一个圆截直线的弦长】在解析几何中，常常需要计算一个圆与一条直线相交所形成的弦长。这种问题不仅在数学考试中常见，在工程、物理等实际应用中也有广泛用途。本文将系统地总结如何通过代数方法求解圆截直线所得的弦长，并以表格形式展示关键步骤和公式。

一、基本概念

- 圆：一般方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 为圆心，$r$ 为半径。

- 直线：一般方程为 $Ax + By + C = 0$ 或 $y = kx + c$。

- 弦长：圆与直线的两个交点之间的距离。

二、求解步骤总结

三、公式推导

假设圆的方程为：

$$

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

$$

直线方程为：

$$

y = kx + c

$$

将直线方程代入圆的方程，得：

$$

(x - a)^2 + (kx + c - b)^2 = r^2

$$

展开并整理后，得到一个关于 x 的二次方程：

$$

Ax^2 + Bx + C = 0

$$

设该方程的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则对应的两个交点为：

$$

P_1(x_1, kx_1 + c), \quad P_2(x_2, kx_2 + c)

$$

弦长公式为：

$$

L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

$$

由于 $y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)$，可简化为：

$$

L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + [k(x_1 - x_2)]^2} = x_1 - x_2 \cdot \sqrt{1 + k^2}

$$

而根据二次方程根的性质，有：

$$

$$

因此，弦长最终表达式为：

$$

L = \sqrt{\frac{B^2 - 4AC}{A^2}} \cdot \sqrt{1 + k^2}

$$

四、表格总结

五、注意事项

- 若直线与圆相切，则弦长为零；

- 若直线与圆不相交，则无实数解，弦长不存在；

- 在实际应用中，可使用计算器或编程工具辅助求解二次方程的根。

六、小结

求一个圆截直线的弦长，本质上是通过代数方法求解圆与直线的交点，并利用距离公式进行计算。掌握这一过程不仅有助于理解几何图形的性质，也为后续学习更复杂的几何问题打下基础。通过上述步骤与公式，可以高效、准确地完成此类计算。