在微积分的学习过程中，有两个极限被广泛认为是极其重要的，它们不仅在数学分析中具有基础性地位，而且在实际应用中也扮演着关键角色。这两个极限分别是：
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
下面我们将对这两个极限进行详细的推导与解释，帮助读者更深入地理解其背后的数学逻辑和几何意义。
一、第一个重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
这个极限在三角函数的导数计算中起着至关重要的作用，尤其在求解 $\sin x$ 的导数时会频繁出现。
几何证明法（单位圆法）
考虑单位圆中的一个扇形 $OAB$，其中角 $AOB = x$（弧度），点 $A$ 在圆上，点 $B$ 在圆上，点 $C$ 是从 $A$ 向 $x$ 轴作垂线的交点。
- 扇形面积为：$\frac{1}{2}x$
- 三角形 $OAC$ 的面积为：$\frac{1}{2}\sin x$
- 三角形 $OAB$ 的面积为：$\frac{1}{2}\tan x$
根据面积关系有：
$$
\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x
$$
两边同时乘以 2 并除以 $\sin x$，得到：
$$
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}
$$
取倒数后不等式方向改变：
$$
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1
$$
当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此由夹逼定理可得：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
代数方法（泰勒展开）
利用 $\sin x$ 的泰勒展开式：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots
$$
则：
$$
\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots
$$
当 $x \to 0$ 时，高阶项趋于零，因此：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
二、第二个重要极限：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
这个极限是自然对数底数 $e$ 的定义之一，也是指数函数和对数函数的重要基础。
定义与直观理解
我们定义：
$$
e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
$$
令 $x = \frac{1}{n}$，当 $n \to \infty$ 时，$x \to 0$，则有：
$$
e = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}
$$
这说明当 $x$ 接近 0 时，$(1 + x)^{1/x}$ 接近 $e$。
严格推导（利用对数与洛必达法则）
设：
$$
L = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}
$$
取自然对数：
$$
\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}
$$
这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可以使用洛必达法则：
$$
\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = 1
$$
因此：
$$
\ln L = 1 \Rightarrow L = e
$$
所以：
$$
\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e
$$
三、总结
两个重要极限不仅是微积分的基础工具，更是许多数学理论的核心。通过几何直观、代数展开以及极限运算，我们可以清晰地理解它们的来源与意义。
掌握这两个极限的推导过程，有助于我们在后续学习中更顺利地处理复杂的函数极限、导数与积分问题。同时，这些极限也广泛应用于物理、工程、经济学等领域，体现了数学的普遍性和实用性。
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