【导数的求导法则】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握导数的求导法则，有助于我们更高效地计算复杂函数的导数。以下是对常见导数求导法则的总结，并以表格形式展示。
一、基本求导法则
1. 常数法则
若 $ f(x) = C $（C为常数），则导数为：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数法则
若 $ f(x) = x^n $，其中 $ n $ 为任意实数，则导数为：
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 常数倍数法则
若 $ f(x) = k \cdot g(x) $，其中 $ k $ 为常数，则导数为：
$$
f'(x) = k \cdot g'(x)
$$
4. 加减法法则
若 $ f(x) = g(x) \pm h(x) $，则导数为：
$$
f'(x) = g'(x) \pm h'(x)
$$
5. 乘积法则
若 $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $，则导数为：
$$
f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)
$$
6. 商数法则
若 $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $，则导数为：
$$
f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
$$
7. 链式法则（复合函数求导）
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则导数为：
$$
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
二、常见函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
三、应用示例
例如，求函数 $ f(x) = (x^2 + 1)\sin x $ 的导数：
使用乘积法则：
$$
f'(x) = (x^2 + 1)' \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot (\sin x)'
= 2x \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot \cos x
$$
四、小结
导数的求导法则为数学分析提供了强有力的工具。通过熟练掌握这些规则，可以快速准确地计算各种函数的导数，从而应用于物理、工程、经济等多个领域。建议在学习过程中多做练习，加深对这些法则的理解与运用能力。
