【反三角角函数公式】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数，用于求解已知三角函数值所对应的角。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。这些函数在微积分、工程学、物理学等领域有着广泛的应用。
以下是对常见反三角函数公式的总结，并以表格形式展示其定义域、值域及基本性质。
一、反三角函数的基本定义
| 函数名称 | 符号表示 | 定义 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | arcsin(x) | y = arcsin(x) 当且仅当 sin(y) = x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| 反余弦 | arccos(x) | y = arccos(x) 当且仅当 cos(y) = x | [-1, 1] | [0, π] |
| 反正切 | arctan(x) | y = arctan(x) 当且仅当 tan(y) = x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
二、反三角函数的导数公式
反三角函数的导数在微积分中非常重要，常用于求解变化率和积分问题。
| 函数名称 | 导数表达式 |
| d/dx [arcsin(x)] | 1 / √(1 - x²) |
| d/dx [arccos(x)] | -1 / √(1 - x²) |
| d/dx [arctan(x)] | 1 / (1 + x²) |
三、反三角函数的恒等式与关系
| 公式 | 描述 |
| arcsin(x) + arccos(x) = π/2 | 对于所有 x ∈ [-1, 1] 成立 |
| arctan(x) + arctan(1/x) = π/2 （x > 0） | 对于正实数成立 |
| arctan(x) + arctan(y) = arctan[(x + y)/(1 - xy)] | 当 xy < 1 时成立 |
四、反三角函数的图像特征
- arcsin(x)：图像从 (-1, -π/2) 到 (1, π/2)，单调递增。
- arccos(x)：图像从 (-1, π) 到 (1, 0)，单调递减。
- arctan(x)：图像在 x → ±∞ 时趋于 ±π/2，整体为单调递增。
五、应用举例
1. 求角度：若 sinθ = 0.5，则 θ = arcsin(0.5) = π/6。
2. 积分计算：∫ 1/(1 + x²) dx = arctan(x) + C。
3. 物理建模：在力学中，利用反三角函数计算力的角度或位移方向。
六、注意事项
- 反三角函数的值域是根据主值确定的，因此它们不是完整的反函数，而是限制范围后的结果。
- 在使用计算器或编程语言时，需注意函数返回的是弧度还是角度。
- 某些反三角函数在特定区间内可能需要分段处理。
通过以上总结，我们可以更清晰地理解反三角函数的定义、性质及其应用。掌握这些公式对于进一步学习高等数学和实际问题的解决具有重要意义。
