【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望与方差公式的总结，并以表格形式进行对比说明。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能取值上加权平均的结果，权重为各取值的概率。它表示的是随机变量在大量重复试验中的平均表现。
1. 离散型随机变量的期望公式：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
其中，$x_i$ 是随机变量 $X$ 的可能取值，$P(X = x_i)$ 是对应概率。
2. 连续型随机变量的期望公式：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$f(x)$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数。
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的离散程度。方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。
1. 方差的定义式：
$$
Var(X) = E\left[(X - E(X))^2\right
$$
2. 展开后的计算公式（常用）：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
该公式便于实际计算，尤其是当直接计算 $(X - E(X))^2$ 较为复杂时。
三、常见分布的期望与方差公式
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 期望 $E(X)$ | 方差 $Var(X)$ |
| 伯努利分布 | $P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k}$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 | $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布 | $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 均匀分布 | $f(x) = \frac{1}{b-a}$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 正态分布 | $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
四、总结
期望与方差是统计分析中不可或缺的工具，它们帮助我们理解随机变量的行为模式和稳定性。通过掌握不同分布的期望与方差公式，可以更高效地进行数据分析与建模。
在实际应用中，合理使用这些公式有助于预测、决策和风险评估。同时，结合具体问题选择合适的分布模型，能显著提高分析的准确性与实用性。
附：常用公式速查表
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 期望（离散） | $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ |
| 期望（连续） | $E(X) = \int x f(x) dx$ |
| 方差（定义） | $Var(X) = E[(X - E(X))^2]$ |
| 方差（简化） | $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ |
