【数列的通项公式】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。而数列的通项公式则是用来表示数列中第n项（即aₙ）与项数n之间关系的表达式。掌握通项公式不仅可以帮助我们快速求出数列中的任意一项，还能用于分析数列的性质和变化趋势。
以下是对常见数列及其通项公式的总结：
一、等差数列
等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为a₁，公差为d，则其通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
| 项数n | 第n项aₙ |
| 1 | a₁ |
| 2 | a₁ + d |
| 3 | a₁ + 2d |
| 4 | a₁ + 3d |
| ... | ... |
二、等比数列
等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为a₁，公比为r，则其通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
| 项数n | 第n项aₙ |
| 1 | a₁ |
| 2 | a₁·r |
| 3 | a₁·r² |
| 4 | a₁·r³ |
| ... | ... |
三、特殊数列
有些数列没有固定的公差或公比，但可以通过观察规律得到通项公式。例如：
1. 自然数列：1, 2, 3, 4, 5, …
通项公式为：
$$
a_n = n
$$
2. 奇数列：1, 3, 5, 7, 9, …
通项公式为：
$$
a_n = 2n - 1
$$
3. 偶数列：2, 4, 6, 8, 10, …
通项公式为：
$$
a_n = 2n
$$
4. 平方数列：1, 4, 9, 16, 25, …
通项公式为：
$$
a_n = n^2
$$
5. 立方数列：1, 8, 27, 64, 125, …
通项公式为：
$$
a_n = n^3
$$
四、递推数列
有些数列不能直接写出通项公式，而是通过递推关系定义。例如：
1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, …
递推公式为：
$$
a_1 = 1,\quad a_2 = 1,\quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
$$
该数列没有简单的通项公式，但可以用闭式表达（如利用黄金分割比），不过一般情况下仍以递推方式使用。
五、总结表格
| 数列类型 | 通项公式 | 特点说明 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 每项与前一项差为常数 |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 每项与前一项比为常数 |
| 自然数列 | $ a_n = n $ | 从1开始的正整数序列 |
| 奇数列 | $ a_n = 2n - 1 $ | 所有奇数构成的数列 |
| 偶数列 | $ a_n = 2n $ | 所有偶数构成的数列 |
| 平方数列 | $ a_n = n^2 $ | 每项为自然数的平方 |
| 立方数列 | $ a_n = n^3 $ | 每项为自然数的立方 |
| 斐波那契数列 | 无简单通项公式 | 由前两项相加得到后续项 |
通过理解这些常见的数列及其通项公式，我们可以更高效地分析和解决数列相关的问题。对于复杂的数列，可能需要结合图形、递推关系或其他数学工具来进一步研究其规律。
