【数学期望公式是什么】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中所表现出的平均值。它可以帮助我们预测事件的平均结果，广泛应用于金融、工程、科学等多个领域。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 表示，是随机变量 $ X $ 在所有可能取值上按其发生概率加权后的平均值。简单来说，它是对“平均结果”的一种量化表达。
二、数学期望的计算公式
1. 离散型随机变量
对于一个离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量
对于一个连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的数学期望
以下是一些常见概率分布的数学期望公式：
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、数学期望的意义与应用
数学期望反映了随机变量的“中心位置”，是决策分析和风险评估中的重要工具。例如：
- 在投资中，期望收益帮助投资者比较不同项目的潜在回报；
- 在保险行业，期望赔付金额用于制定合理的保费；
- 在游戏设计中，期望值决定游戏的公平性与吸引力。
五、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，用于衡量随机变量的长期平均表现。无论是离散还是连续型随机变量，都有相应的计算公式。掌握数学期望有助于更好地理解和预测不确定性事件的结果。
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 随机变量在所有可能值上的加权平均 |
| 公式 | 离散：$ E(X) = \sum x_i p_i $；连续：$ E(X) = \int x f(x) dx $ |
| 应用场景 | 投资、保险、游戏设计等 |
| 常见分布期望值 | 如二项分布、正态分布、泊松分布等 |
通过理解数学期望，我们可以更理性地面对不确定性的世界。
