【已知密度函数怎么求分布函数】在概率论与数理统计中，密度函数和分布函数是描述随机变量性质的两个重要工具。当我们已知一个连续型随机变量的概率密度函数（PDF）时，可以通过积分的方式求出其对应的分布函数（CDF）。下面将对这一过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤和公式。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 概率密度函数（PDF） | 记为 $ f(x) $，表示随机变量在某一点附近单位长度内的概率密度。 |
| 分布函数（CDF） | 记为 $ F(x) $，表示随机变量小于等于 $ x $ 的概率，即 $ F(x) = P(X \leq x) $。 |
二、已知密度函数求分布函数的方法
当已知连续型随机变量的密度函数 $ f(x) $ 时，其分布函数 $ F(x) $ 可通过以下方式求得：
1. 定义法
根据分布函数的定义：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
其中，积分下限为负无穷，上限为当前变量值 $ x $。
2. 分段处理
若密度函数 $ f(x) $ 在某些区间内有不同表达式，则需要分段计算分布函数。例如，若 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 内非零，而在其他区域为零，则：
$$
F(x) =
\begin{cases}
0, & x < a \\
\int_{a}^{x} f(t) \, dt, & a \leq x \leq b \\
1, & x > b
\end{cases}
$$
3. 验证分布函数的性质
- $ F(x) $ 是单调不减的；
- $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $；
- $ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $；
- $ F(x) $ 在 $ f(x) $ 连续处可导，且导数为 $ f(x) $。
三、典型例子说明
| 密度函数 $ f(x) $ | 分布函数 $ F(x) $ | 说明 |
| $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \end{cases} $ | 均匀分布 |
| $ f(x) = e^{-x} $，$ x \geq 0 $ | $ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - e^{-x}, & x \geq 0 \end{cases} $ | 指数分布 |
| $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} $ | $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt $ | 正态分布（无闭合表达式） |
四、总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定密度函数 $ f(x) $ 的定义域 |
| 2 | 对 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, x] $ 上积分，得到 $ F(x) $ |
| 3 | 若 $ f(x) $ 分段定义，需分段计算 |
| 4 | 验证 $ F(x) $ 是否满足分布函数的性质 |
通过上述方法，我们可以从已知的密度函数出发，系统地推导出对应的分布函数，从而更全面地理解随机变量的分布特性。
