【正弦余弦公式】在三角函数的学习中，正弦（sin）和余弦（cos）是最基本的两个函数。它们不仅在数学中有广泛应用，在物理、工程、计算机科学等领域也扮演着重要角色。为了更好地理解和掌握这些公式，以下是对正弦和余弦公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本定义
在直角三角形中：
- 正弦：对边与斜边的比值。
- 余弦：邻边与斜边的比值。
设一个角为 θ，则有：
- sinθ = 对边 / 斜边
- cosθ = 邻边 / 斜边
二、单位圆中的定义
在单位圆上，角度 θ 的终边与单位圆交于点 (x, y)，则：
- sinθ = y
- cosθ = x
三、常用角度的正弦和余弦值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 |
| 90 | π/2 | 1 | 0 |
四、基本公式
1. 平方关系：
- sin²θ + cos²θ = 1
2. 倒数关系：
- secθ = 1 / cosθ
- cscθ = 1 / sinθ
3. 商数关系：
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
4. 诱导公式（用于求不同象限的三角函数值）：
- sin(-θ) = -sinθ
- cos(-θ) = cosθ
- sin(π - θ) = sinθ
- cos(π - θ) = -cosθ
- sin(π + θ) = -sinθ
- cos(π + θ) = -cosθ
五、和差角公式
1. 正弦的和差角公式：
- sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
2. 余弦的和差角公式：
- cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
六、倍角公式
1. 正弦的倍角公式：
- sin(2θ) = 2 sinθ cosθ
2. 余弦的倍角公式：
- cos(2θ) = cos²θ - sin²θ
- 或者：cos(2θ) = 2cos²θ - 1
- 或者：cos(2θ) = 1 - 2sin²θ
七、半角公式
1. 正弦的半角公式：
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2
2. 余弦的半角公式：
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2
总结
正弦和余弦是三角函数中最基础、最重要的两个函数。它们不仅有明确的几何定义，还具备丰富的代数性质和变换公式。掌握这些公式，有助于解决各种与角度相关的实际问题，尤其是在解析几何、物理运动分析和信号处理等领域中具有广泛的应用价值。
通过表格形式整理，可以更直观地看到不同角度下的数值变化和公式之间的联系，便于记忆和应用。
