【平面向量的外积是什么】在向量代数中，外积（又称叉积或矢积）是一种在三维空间中定义的运算，用于计算两个向量之间的“垂直”关系。然而，在二维平面中，通常所说的“外积”实际上是外积在三维空间中的简化形式，或者是通过将二维向量扩展为三维向量后进行的运算。
本文将从基本概念、计算方式和应用等方面对“平面向量的外积”进行总结，并以表格形式展示关键信息。
一、基本概念
| 概念 | 内容 |
| 外积 | 也称为叉积，是两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个与原向量垂直的向量。 |
| 应用范围 | 主要用于三维空间，但也可推广到二维空间中。 |
| 二维情况 | 在二维中，通常将向量视为三维向量（z=0），然后计算其外积，结果只在z轴上有分量。 |
二、外积的定义与计算
在三维空间中，若向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的外积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
在二维情况下，设向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，我们可以将其视为三维向量 a = (a₁, a₂, 0) 和 b = (b₁, b₂, 0)，此时外积结果为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
因此，在二维中，外积的结果仅在z方向上有值，即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a_1b_2 - a_2b_1
$$
三、外积的性质
| 性质 | 内容 | ||||||
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 零向量 | 若$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$共线，则$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0$ | ||||||
| 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中θ为两向量夹角 |
四、二维外积的应用
| 应用场景 | 说明 |
| 面积计算 | 二维向量外积的绝对值等于由这两个向量构成的平行四边形的面积。 |
| 方向判断 | 外积的正负号可以判断两个向量的相对方向（顺时针或逆时针）。 |
| 旋转方向 | 在计算机图形学中，可用于判断点相对于线段的位置或旋转方向。 |
五、总结
平面向量的外积本质上是三维向量外积在z轴方向上的投影，常用于计算面积、判断方向以及处理几何问题。虽然它不是严格意义上的二维运算，但在实际应用中非常常见且具有重要意义。
如需进一步了解三维外积或相关数学知识，可继续探讨。
