【向量相乘公式】在数学和物理中，向量是一种具有大小和方向的量。在处理向量时，常见的操作之一是向量之间的相乘。根据不同的乘法方式，向量相乘可以分为点积（数量积）和叉积（向量积）两种形式。这两种乘法在物理、工程和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

一、点积（数量积）

点积也称为标量积，结果是一个标量（即一个数值）。点积常用于计算两个向量之间的夹角、投影长度等。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

$$

几何意义：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

其中，θ 是两向量之间的夹角。

二、叉积（向量积）

叉积也称为向量积，其结果是一个向量，且该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。叉积仅适用于三维空间中的向量。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

几何意义：

- 叉积的模长等于由两个向量构成的平行四边形的面积。

- 方向由右手定则决定，即拇指指向 a，食指指向 b，中指指向叉积的方向。

三、总结对比

四、应用举例

- 点积：用于计算力在某一方向上的分量、判断两向量是否正交等。

- 叉积：用于计算旋转扭矩、磁场方向、三维图形的法线向量等。

通过理解向量相乘的不同方式，我们可以更好地在实际问题中应用这些数学工具，提升对物理现象和工程问题的分析能力。